ম্যান্ডেলব্রট সেট ডিকোড করার কোয়েস্ট, গণিতের বিখ্যাত ফ্র্যাক্টাল | কোয়ান্টা ম্যাগাজিন

1980-এর দশকের মাঝামাঝি, ওয়াকম্যান ক্যাসেট প্লেয়ার এবং টাই-ডাইড শার্টের মতো, ম্যান্ডেলব্রট সেটের বাগ-লাইক সিলুয়েট সর্বত্র ছিল।

ছাত্ররা সারা বিশ্বে ডর্ম রুমের দেয়ালে প্লাস্টার করে। গণিতবিদরা শত শত চিঠি পেয়েছিলেন, সেটের প্রিন্টআউটের জন্য আগ্রহী অনুরোধ করেছিলেন। (প্রত্যুত্তরে, তাদের মধ্যে কিছু ক্যাটালগ তৈরি করেছিল, মূল্য তালিকা সহ সম্পূর্ণ; অন্যরা এর সবচেয়ে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যগুলিকে বইয়ে সংকলন করেছিল।) আরও প্রযুক্তি-বুদ্ধিমান ভক্তরা আগস্ট 1985 সংখ্যার দিকে যেতে পারে বৈজ্ঞানিক আমেরিকান. এর আবরণে, ম্যান্ডেলব্রট সেটটি জ্বলন্ত টেন্ড্রিলগুলিতে উন্মোচিত হয়েছে, এর সীমানা জ্বলছে; ভিতরে সতর্ক প্রোগ্রামিং নির্দেশাবলী ছিল, পাঠকরা কিভাবে নিজেদের জন্য আইকনিক ইমেজ তৈরি করতে পারে তার বিশদ বিবরণ।

ততক্ষণে, সেই টেন্ড্রিলগুলিও গণিতের বাইরে, দৈনন্দিন জীবনের আপাতদৃষ্টিতে সম্পর্কহীন কোণে তাদের নাগালের প্রসারিত করেছিল। পরবর্তী কয়েক বছরের মধ্যে, ম্যান্ডেলব্রট সেটটি ডেভিড হকনির নতুন পেইন্টিং এবং বেশ কিছু সঙ্গীতজ্ঞের নতুন রচনাগুলিকে অনুপ্রাণিত করবে - বাখের শৈলীতে ফুগুলাইক টুকরা। এটি জন আপডাইকের কথাসাহিত্যের পৃষ্ঠাগুলিতে উপস্থিত হবে এবং সাহিত্য সমালোচক হিউ কেনার কীভাবে এজরা পাউন্ডের কবিতা বিশ্লেষণ করেছিলেন তা নির্দেশ করবে। এটি সাইকেডেলিক হ্যালুসিনেশনের বিষয় হয়ে উঠবে, এবং একটি জনপ্রিয় ডকুমেন্টারি যা সাই-ফাই গ্রেট আর্থার সি. ক্লার্ক দ্বারা বর্ণিত হয়েছে।

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি একটি বিশেষ আকৃতি, যার একটি ফ্র্যাক্টাল রূপরেখা রয়েছে। সেটের জ্যাগড বাউন্ডারিতে জুম ইন করতে একটি কম্পিউটার ব্যবহার করুন এবং আপনি সমুদ্রের ঘোড়ার উপত্যকা এবং হাতির প্যারেড, সর্পিল ছায়াপথ এবং নিউরনের মতো ফিলামেন্টের মুখোমুখি হবেন। আপনি যতই গভীরভাবে অন্বেষণ করুন না কেন, আপনি সর্বদা আসল সেটের কাছাকাছি-অনুলিপি দেখতে পাবেন — স্ব-সাদৃশ্যের একটি অসীম, চকচকে ক্যাসকেড।

সেই স্ব-সাম্য ছিল জেমস গ্লিকের বেস্ট সেলিং বইয়ের মূল উপাদান বিশৃঙ্খলা, যা জনপ্রিয় সংস্কৃতিতে ম্যান্ডেলব্রট সেটের স্থানকে সিমেন্ট করেছে। "এটি ধারণার একটি মহাবিশ্ব ধারণ করেছে," গ্লিক লিখেছেন। "শিল্পের একটি আধুনিক দর্শন, গণিতে পরীক্ষা-নিরীক্ষার নতুন ভূমিকার ন্যায্যতা, একটি বৃহৎ জনসাধারণের সামনে জটিল সিস্টেমগুলি আনার একটি উপায়।"

ম্যান্ডেলব্রট সেট একটি প্রতীক হয়ে উঠেছে। এটি একটি নতুন গাণিতিক ভাষার প্রয়োজনীয়তার প্রতিনিধিত্ব করে, আমাদের চারপাশের বিশ্বের ফ্র্যাক্টাল প্রকৃতি বর্ণনা করার একটি ভাল উপায়। এটি চিত্রিত করেছে যে কীভাবে গভীর জটিলতা সহজতম নিয়ম থেকে বেরিয়ে আসতে পারে - অনেকটা জীবনের মতো। ("এটি তাই আশার একটি বাস্তব বার্তা," জন হাবার্ড, সেটটি অধ্যয়নকারী প্রথম গণিতবিদদের একজন, 1989 সালের একটি ভিডিওতে বলেছিলেন, "সম্ভবত জীববিদ্যা সত্যিই একইভাবে বোঝা যায় যেভাবে এই ছবিগুলি বোঝা যায়।") ম্যান্ডেলব্রট সেটে, শৃঙ্খলা এবং বিশৃঙ্খলা সামঞ্জস্যপূর্ণ ছিল; দৃঢ়তাবাদ এবং স্বাধীন ইচ্ছার মিলন হতে পারে। একজন গণিতবিদ কিশোর বয়সে সেট জুড়ে হোঁচট খাওয়া এবং সত্য এবং মিথ্যার মধ্যে জটিল সীমানার রূপক হিসাবে এটিকে স্মরণ করেছিলেন।

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি সর্বত্র ছিল, যতক্ষণ না এটি ছিল না।

এক দশকের মধ্যে, এটি অদৃশ্য হয়ে গেল। গণিতবিদরা অন্যান্য বিষয়ের দিকে অগ্রসর হন এবং জনসাধারণ অন্যান্য চিহ্নগুলিতে চলে যান। আজ, তার আবিষ্কারের মাত্র 40 বছর পরে, ফ্র্যাক্টাল একটি ক্লিচে, বর্ডারলাইন কিটস হয়ে উঠেছে।

কিন্তু মুষ্টিমেয় গণিতবিদ এটা যেতে দিতে অস্বীকার করেছেন। তারা ম্যান্ডেলব্রট সেটের গোপনীয়তা উন্মোচনের জন্য তাদের জীবন উৎসর্গ করেছে। এখন, তারা মনে করে যে তারা অবশেষে এটি সত্যিই বোঝার দ্বারপ্রান্তে রয়েছে।

তাদের গল্প একটি অন্বেষণ, পরীক্ষা-নিরীক্ষার — এবং প্রযুক্তি কীভাবে আমাদের চিন্তাভাবনাকে আকার দেয় এবং আমরা বিশ্ব সম্পর্কে যে প্রশ্নগুলি জিজ্ঞাসা করি।

বাউন্টি হান্টার

2023 সালের অক্টোবরে, সারা বিশ্ব থেকে 20 জন গণিতবিদ একটি স্কোয়াট ইটের বিল্ডিংয়ে একত্রিত হয়েছিল যা একসময় ডেনিশ সামরিক গবেষণা বেস ছিল। 1800-এর দশকের শেষের দিকে বনের মাঝখানে নির্মিত বেসটি ডেনমার্কের সবচেয়ে জনবহুল দ্বীপের উত্তর-পশ্চিম উপকূলে একটি fjord-এ আটকে দেওয়া হয়েছিল। একটি পুরানো টর্পেডো প্রবেশদ্বার পাহারা দিয়েছিল। সাদা-কালো ছবি, ইউনিফর্মে নৌবাহিনীর অফিসারদের চিত্রিত করা, একটি ডকে সারিবদ্ধ নৌকা, এবং সাবমেরিন পরীক্ষা চলছে, দেয়ালগুলিকে সাজিয়েছে। তিন দিন ধরে, প্রচণ্ড বাতাস জানালার বাইরের জলকে ঝাপসা হোয়াইটক্যাপে পরিণত করার সময়, দলটি একাধিক আলোচনায় বসেছিল, যার বেশিরভাগই নিউইয়র্কের স্টনি ব্রুক বিশ্ববিদ্যালয়ের দুই গণিতবিদ দ্বারা: মিশা লিউবিচ এবং দিমা দুদকো.

কর্মশালার শ্রোতাদের মধ্যে ম্যান্ডেলব্রট সেটের সবচেয়ে নির্ভীক অভিযাত্রীরা ছিলেন। সামনে বসল মিতসুহিরো শিশিকুরা কিয়োটো ইউনিভার্সিটির, যিনি 1990-এর দশকে প্রমাণ করেছিলেন যে সেটের সীমানা যতটা জটিল হতে পারে। কয়েক আসন শেষ হয়ে গেল হিরোইউকি ইনো, যিনি শিশিকুরার পাশাপাশি ম্যান্ডেলব্রট সেটের একটি বিশেষ উচ্চ-প্রোফাইল অঞ্চল অধ্যয়নের জন্য গুরুত্বপূর্ণ কৌশলগুলি তৈরি করেছিলেন। শেষ সারিতে ছিলেন নেকড়ে জং, ম্যান্ডেলের স্রষ্টা, ম্যান্ডেলব্রট সেটটি ইন্টারেক্টিভভাবে তদন্ত করার জন্য গণিতবিদদের গো-টু সফ্টওয়্যার। এছাড়াও উপস্থিত ছিলেন আর্নড চেরিটাট টুলুজ বিশ্ববিদ্যালয়ের, কার্স্টেন পিটারসেন রোসকিল্ড ইউনিভার্সিটির (যিনি কর্মশালার আয়োজন করেছিলেন), এবং আরও কয়েকজন যারা ম্যান্ডেলব্রট সেট সম্পর্কে গণিতবিদদের বোঝার জন্য প্রধান অবদান রেখেছিলেন।

এবং হোয়াইটবোর্ডে দাঁড়িয়েছিলেন লিউবিচ, এই বিষয়ে বিশ্বের শীর্ষস্থানীয় বিশেষজ্ঞ এবং দুদকো, তাঁর ঘনিষ্ঠ সহযোগীদের একজন। একসাথে গণিতবিদদের সাথে জেরেমি কান এবং অ্যালেক্স কাপিয়াম্বা, তারা ম্যান্ডেলব্রট সেটের জ্যামিতিক কাঠামো সম্পর্কে একটি দীর্ঘস্থায়ী অনুমান প্রমাণ করার জন্য কাজ করছে। এই অনুমান, এমএলসি নামে পরিচিত, ফ্র্যাক্টালটিকে চিহ্নিত করার জন্য, এর জটবদ্ধ প্রান্তরকে নিয়ন্ত্রণ করার জন্য দশকের দীর্ঘ অনুসন্ধানের চূড়ান্ত বাধা।

হাতিয়ারের একটি শক্তিশালী সেট তৈরি এবং তীক্ষ্ণ করার মাধ্যমে, গণিতবিদরা "ম্যান্ডেলব্রট সেটের প্রায় সবকিছুই" জ্যামিতির নিয়ন্ত্রণে কুস্তি করেছেন। ক্যারোলিন ডেভিস ইন্ডিয়ানা ইউনিভার্সিটির - কয়েকটি অবশিষ্ট কেস বাদে। "মিশা এবং দিমা এবং জেরেমি এবং অ্যালেক্স অনুগ্রহ শিকারীদের মতো, এই শেষগুলি খুঁজে বের করার চেষ্টা করছে।"

লিউবিচ এবং ডুডকো ডেনমার্কে অন্যান্য গণিতবিদদের MLC প্রমাণের দিকে সাম্প্রতিক অগ্রগতি এবং তারা এটি করার জন্য যে কৌশলগুলি তৈরি করেছিলেন তা আপডেট করতে ছিলেন। বিগত 20 বছর ধরে, গবেষকরা জটিল বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে ফলাফল এবং পদ্ধতিগুলি আনপ্যাক করার জন্য নিবেদিত কর্মশালার জন্য এখানে জড়ো হয়েছেন, ম্যান্ডেলব্রট সেট তৈরি করতে ব্যবহৃত সংখ্যা এবং ফাংশনের ধরণের গাণিতিক অধ্যয়ন।

এটি একটি অস্বাভাবিক সেটআপ ছিল: গণিতবিদরা তাদের সমস্ত খাবার একসাথে খেয়েছিলেন, এবং বিয়ারের সাথে কথা বলতেন এবং বিয়ারের সাথে হেসেছিলেন। অবশেষে যখন তারা ঘুমাতে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নেয়, তখন তারা সুবিধার দ্বিতীয় তলায় ভাগ করা ছোট ঘরে বাঙ্ক বিছানা বা খাটগুলিতে অবসর নেয়। (আমাদের আগমনের পরে, আমাদের বলা হয়েছিল একটি স্তূপ থেকে চাদর এবং বালিশের কেসগুলিকে নিয়ে আমাদের বিছানা তৈরি করার জন্য। প্রায়শই, তারা বনের মধ্য দিয়ে ঘুরে বেড়ায়। কিন্তু বেশিরভাগ অংশে, গণিত ছাড়া আর কিছুই করার নেই।

সাধারণত, একজন অংশগ্রহণকারী আমাকে বলেছিলেন, কর্মশালাটি অনেক তরুণ গণিতবিদদের আকর্ষণ করে। কিন্তু এইবার ব্যাপারটা তেমন ছিল না - সম্ভবত কারণ এটি সেমিস্টারের মাঝামাঝি ছিল, অথবা, তিনি অনুমান করেছিলেন, বিষয়টা কতটা কঠিন ছিল। তিনি স্বীকার করেছেন যে সেই মুহুর্তে, মাঠের এত গ্রেটদের সামনে বক্তৃতা দেওয়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে তিনি কিছুটা আতঙ্কিত বোধ করেছিলেন।

কিন্তু প্রদত্ত যে জটিল বিশ্লেষণের বিস্তৃত অঞ্চলে বেশিরভাগ গণিতবিদ আর সরাসরি ম্যান্ডেলব্রট সেটে কাজ করছেন না, কেন একটি সম্পূর্ণ কর্মশালা এমএলসিকে উৎসর্গ করবেন?

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি একটি ফ্র্যাক্টালের চেয়ে বেশি, এবং শুধুমাত্র রূপক অর্থে নয়। এটি গতিশীল সিস্টেমের এক ধরণের মাস্টার ক্যাটালগ হিসাবে কাজ করে - একটি সাধারণ নিয়ম অনুসারে একটি বিন্দু স্থানের মধ্য দিয়ে যেতে পারে এমন সমস্ত বিভিন্ন উপায়ে। এই মাস্টার ক্যাটালগ বোঝার জন্য, একজনকে অবশ্যই বিভিন্ন গাণিতিক ল্যান্ডস্কেপ অতিক্রম করতে হবে। ম্যান্ডেলব্রট সেটটি কেবল গতিবিদ্যার সাথেই নয়, সংখ্যা তত্ত্ব, টপোলজি, বীজগণিত জ্যামিতি, গ্রুপ তত্ত্ব এবং এমনকি পদার্থবিদ্যার সাথেও গভীরভাবে সম্পর্কিত। "এটি একটি সুন্দর উপায়ে গণিতের বাকি অংশের সাথে যোগাযোগ করে," বলেন সব্যসাচী মুখোপাধ্যায় ভারতের টাটা ইনস্টিটিউট অফ ফান্ডামেন্টাল রিসার্চের।

এমএলসি-তে অগ্রগতি করার জন্য, গণিতবিদদের একটি পরিশীলিত কৌশল তৈরি করতে হয়েছিল - যাকে চেরিটাট "একটি শক্তিশালী দর্শন" বলে। এই সরঞ্জামগুলি অনেক মনোযোগ অর্জন করেছে। আজ, তারা আরও বিস্তৃতভাবে গতিশীল সিস্টেমের অধ্যয়নের একটি কেন্দ্রীয় স্তম্ভ গঠন করে। তারা অনেক অন্যান্য সমস্যা সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ হয়ে উঠেছে - সমস্যাগুলির সাথে ম্যান্ডেলব্রট সেটের কোনও সম্পর্ক নেই। এবং তারা MLC কে একটি কুলুঙ্গি প্রশ্ন থেকে ক্ষেত্রের গভীরতম এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উন্মুক্ত অনুমানগুলির মধ্যে একটিতে রূপান্তরিত করেছে।

লিউবিচ, এই "দর্শন"কে বর্তমান আকারে ঢালাই করার জন্য যুক্তিযুক্তভাবে সবচেয়ে দায়ী গণিতবিদ, লম্বা এবং সোজা হয়ে দাঁড়িয়ে থাকেন এবং শান্তভাবে কথা বলেন। কর্মশালায় অন্যান্য গণিতবিদরা যখন একটি ধারণা নিয়ে আলোচনা করতে বা একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার জন্য তার কাছে যান, তখন তিনি চোখ বন্ধ করেন এবং মনোযোগ দিয়ে শোনেন, তার ঘন ভ্রু কুঁচকে যায়। তিনি রাশিয়ান উচ্চারণে সাবধানে উত্তর দেন।

কিন্তু তিনি উচ্চস্বরে, উষ্ণ হাসিতে ভাঙ্গতে এবং কৌতুক করতে দ্রুত। তিনি তার সময় এবং পরামর্শের সাথে উদার। তিনি "সত্যিই বেশ কয়েক প্রজন্মের গণিতবিদদের লালন-পালন করেছেন," বলেছেন মুখার্জি, লিউবিচের একজন প্রাক্তন পোস্টডক এবং ঘন ঘন সহযোগী। তিনি যেমন বলেছেন, জটিল গতিবিদ্যার অধ্যয়নে আগ্রহী যে কেউ স্টোনি ব্রুক-এ লুবিচের কাছ থেকে শেখার জন্য কিছু সময় ব্যয় করেন। "মিশার এই দৃষ্টিভঙ্গি রয়েছে যে আমাদের কীভাবে একটি নির্দিষ্ট প্রকল্পের বিষয়ে যেতে হবে, বা পরবর্তীতে কী দেখা উচিত," মুখার্জি বলেছিলেন। “তার মনে এই দুর্দান্ত ছবি রয়েছে। এবং তিনি এটি মানুষের সাথে ভাগ করে নিতে পেরে খুশি।"

প্রথমবারের মতো, লিউবিচ মনে করেন যে তিনি সেই দুর্দান্ত ছবিটি সম্পূর্ণরূপে দেখতে সক্ষম হয়েছেন।

পুরস্কার যোদ্ধা

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি একটি পুরস্কার দিয়ে শুরু হয়েছিল।

1915 সালে, ফাংশনগুলির অধ্যয়নের সাম্প্রতিক অগ্রগতির দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে, ফরাসি একাডেমি অফ সায়েন্সেস একটি প্রতিযোগিতার ঘোষণা করেছিল: তিন বছরের মধ্যে, এটি পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার উপর কাজের জন্য 3,000-ফ্রাঙ্ক গ্র্যান্ড পুরষ্কার অফার করবে - যে প্রক্রিয়াটি হবে পরে ম্যান্ডেলব্রট সেট তৈরি করুন।

পুনরাবৃত্তি হল একটি নিয়মের পুনরাবৃত্তিমূলক প্রয়োগ। একটি ফাংশনে একটি নম্বর প্লাগ করুন, তারপর আপনার পরবর্তী ইনপুট হিসাবে আউটপুট ব্যবহার করুন। এটি করতে থাকুন, এবং সময়ের সাথে কী ঘটে তা পর্যবেক্ষণ করুন। আপনি যখন আপনার ফাংশন পুনরাবৃত্তি করতে থাকবেন, আপনি যে সংখ্যাগুলি পাবেন তা দ্রুত অসীমের দিকে উঠতে পারে। অথবা এগুলিকে বিশেষভাবে একটি সংখ্যার দিকে টানা যেতে পারে, যেমন লোহার ফাইলিং চুম্বকের দিকে চলে যায়। অথবা শেষ পর্যন্ত একই দুটি সংখ্যা, বা তিন, বা হাজার, একটি স্থিতিশীল কক্ষপথে বাউন্স করে যা থেকে তারা কখনই পালাতে পারে না। অথবা একটি বিশৃঙ্খল, অপ্রত্যাশিত পথ অনুসরণ করে ছড়া বা কারণ ছাড়াই এক নম্বর থেকে অন্য নম্বরে যান।

ফরাসি একাডেমি এবং গণিতবিদদের আরও বিস্তৃতভাবে, পুনরাবৃত্তিতে আগ্রহী হওয়ার আরেকটি কারণ ছিল। প্রক্রিয়াটি গতিশীল সিস্টেমগুলির অধ্যয়নের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছিল - সূর্যের চারপাশে গ্রহগুলির ঘূর্ণন বা একটি উত্তাল স্রোতের প্রবাহের মতো সিস্টেমগুলি, কিছু নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসারে সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত সিস্টেমগুলি।

পুরস্কারটি দুজন গণিতবিদকে সম্পূর্ণ নতুন অধ্যয়নের ক্ষেত্র তৈরি করতে অনুপ্রাণিত করেছিল।

প্রথমে পিয়েরে ফাতু, যিনি অন্য জীবনে একজন নৌবাহিনীর লোক হতেন (একটি পারিবারিক ঐতিহ্য), যদি তা তার খারাপ স্বাস্থ্যের জন্য না হয়। পরিবর্তে তিনি গণিত এবং জ্যোতির্বিদ্যায় একটি কর্মজীবন অনুসরণ করেছিলেন এবং 1915 সালের মধ্যে তিনি ইতিমধ্যে বিশ্লেষণে বেশ কয়েকটি বড় ফলাফল প্রমাণ করেছিলেন। তারপরে গ্যাস্টন জুলিয়া ছিলেন, ফরাসি-অধিকৃত আলজেরিয়ায় জন্মগ্রহণকারী একজন প্রতিশ্রুতিশীল তরুণ গণিতবিদ যার পড়াশোনা প্রথম বিশ্বযুদ্ধ এবং ফরাসি সেনাবাহিনীতে তার যোগদানের কারণে বাধাগ্রস্ত হয়েছিল। 22 বছর বয়সে, তার পরিষেবা শুরু করার পরপরই গুরুতর আঘাত পাওয়ার পর - তিনি সারা জীবন তার মুখে চামড়ার স্ট্র্যাপ পরে থাকবেন, ডাক্তাররা ক্ষতি মেরামত করতে অক্ষম হওয়ার পরে - তিনি গণিতে ফিরে আসেন, কিছু কাজ করেন। যে কাজটি তিনি হাসপাতালের বিছানা থেকে একাডেমি পুরস্কারের জন্য জমা দেবেন।

পুরস্কারটি ফাতু এবং জুলিয়া উভয়কেই অধ্যয়ন করতে অনুপ্রাণিত করেছিল যখন আপনি ফাংশনগুলি পুনরাবৃত্তি করেন তখন কী ঘটে। তারা স্বাধীনভাবে কাজ করেছিল, কিন্তু শেষ পর্যন্ত একই রকম আবিষ্কার করেছিল। তাদের ফলাফলে এত বেশি ওভারল্যাপ ছিল যে এখনও, কীভাবে ক্রেডিট বরাদ্দ করা যায় তা সবসময় পরিষ্কার নয়। (জুলিয়া আরো বহির্গামী ছিল, এবং তাই তিনি আরও মনোযোগ পেয়েছিলেন। তিনি পুরস্কার জিতেছিলেন; ফাতুও আবেদন করেননি।) এই কাজের কারণে, দুজনকে এখন জটিল গতিবিদ্যার ক্ষেত্রের প্রতিষ্ঠাতা হিসাবে বিবেচনা করা হয়।

"জটিল," কারণ ফাতু এবং জুলিয়া জটিল সংখ্যার ফাংশনগুলিকে পুনরাবৃত্তি করেছেন - এমন সংখ্যা যা একটি পরিচিত বাস্তব সংখ্যাকে তথাকথিত কাল্পনিক সংখ্যার সাথে একত্রিত করে (এর একাধিক i, প্রতীক গণিতবিদরা −1 এর বর্গমূল বোঝাতে ব্যবহার করেন)। যদিও বাস্তব সংখ্যাগুলিকে একটি লাইনের বিন্দু হিসাবে বিন্যস্ত করা যেতে পারে, জটিল সংখ্যাগুলিকে একটি সমতলে বিন্দু হিসাবে কল্পনা করা হয়, যেমন:

Fatou এবং Julia খুঁজে পেয়েছেন যে এমনকি সাধারণ জটিল ফাংশন পুনরাবৃত্তি করা (গণিতের ক্ষেত্রে একটি প্যারাডক্স নয়!) আপনার শুরুর পয়েন্টের উপর নির্ভর করে সমৃদ্ধ এবং জটিল আচরণের দিকে নিয়ে যেতে পারে। তারা এই আচরণগুলি নথিভুক্ত করতে শুরু করেছিল এবং জ্যামিতিকভাবে তাদের প্রতিনিধিত্ব করতে শুরু করেছিল।

কিন্তু তারপর তাদের কাজ অর্ধ শতাব্দী ধরে অস্পষ্টতায় বিবর্ণ হয়ে যায়। “লোকেরা জানত না কী খুঁজতে হবে। তারা কি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে সীমাবদ্ধ ছিল,” বলেন আর্টার আভিলাজুরিখ বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক ড.

1970 এর দশকে যখন কম্পিউটার গ্রাফিক্সের বয়স আসে তখন এটি পরিবর্তিত হয়।

ততদিনে, গণিতবিদ বেনোইট ম্যান্ডেলব্রট একাডেমিক ডিলেটেন্ট হিসাবে খ্যাতি অর্জন করেছিলেন। তিনি নিউ ইয়র্ক সিটির উত্তরে আইবিএম-এর গবেষণা কেন্দ্রে কাজ করার সময় অর্থনীতি থেকে জ্যোতির্বিদ্যা পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে কাজ করেছিলেন। 1974 সালে যখন তিনি একজন IBM ফেলো নিযুক্ত হন, তখন তিনি স্বাধীন প্রকল্পগুলি অনুসরণ করার জন্য আরও বেশি স্বাধীনতা পেয়েছিলেন। তিনি জটিল গতিবিদ্যাকে হাইবারনেশন থেকে বের করে আনতে কেন্দ্রের যথেষ্ট কম্পিউটিং শক্তি প্রয়োগ করার সিদ্ধান্ত নেন।

প্রথমে, ম্যান্ডেলব্রট কম্পিউটারগুলি ব্যবহার করে ফাতু এবং জুলিয়া যে ধরণের আকারগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন তা তৈরি করতে। ছবিগুলি কখন একটি প্রারম্ভিক বিন্দু, যখন পুনরাবৃত্ত করা হয়, অনন্তে চলে যাবে এবং কখন এটি অন্য কোনও প্যাটার্নে আটকা পড়বে সে সম্পর্কে তথ্য এনকোড করেছে৷ 60 বছর আগে থেকে Fatou এবং জুলিয়ার আঁকাগুলি বৃত্ত এবং ত্রিভুজগুলির ক্লাস্টারের মতো দেখাচ্ছিল — কিন্তু ম্যান্ডেলব্রট যে কম্পিউটার-উত্পন্ন চিত্রগুলি তৈরি করেছিলেন তা দেখতে ড্রাগন এবং প্রজাপতি, খরগোশ এবং ক্যাথিড্রাল এবং ফুলকপির মাথার মতো দেখাচ্ছিল, কখনও কখনও এমনকি ধূলিকণার বিচ্ছিন্ন মেঘও। ততক্ষণে, ম্যান্ডেলব্রট ইতিমধ্যেই বিভিন্ন স্কেলগুলিতে একই রকম আকারের জন্য "ফ্র্যাক্টাল" শব্দটি তৈরি করেছিলেন; শব্দটি একটি নতুন ধরনের জ্যামিতির ধারণা জাগিয়েছিল - কিছু খণ্ডিত, ভগ্নাংশ বা ভাঙা।

তার কম্পিউটার স্ক্রিনে প্রদর্শিত চিত্রগুলি - যা আজ জুলিয়া সেট নামে পরিচিত - ম্যান্ডেলব্রট কখনও দেখেনি এমন ফ্র্যাক্টালগুলির সবচেয়ে সুন্দর এবং জটিল উদাহরণগুলির মধ্যে কয়েকটি।

ফাতু এবং জুলিয়ার কাজ পৃথকভাবে এই প্রতিটি সেটের (এবং তাদের সংশ্লিষ্ট ফাংশন) জ্যামিতি এবং গতিবিদ্যার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করেছিল। কিন্তু কম্পিউটারগুলি ম্যান্ডেলব্রটকে একবারে একটি সম্পূর্ণ ফাংশন পরিবার সম্পর্কে চিন্তা করার একটি উপায় দিয়েছে। তিনি তাদের সকলকে এমন চিত্রে এনকোড করতে পারেন যা তার নাম বহন করবে, যদিও এটি বিতর্কের বিষয় রয়ে গেছে যে তিনি আসলে এটি আবিষ্কার করেছিলেন কিনা।

ম্যান্ডেলব্রট সেটটি এমন সহজ সমীকরণ নিয়ে কাজ করে যেগুলি পুনরাবৃত্তি করার সময় এখনও আকর্ষণীয় কিছু করে। এগুলি ফর্মের দ্বিঘাত ফাংশন f(z) = z² + c. এর একটি মান ঠিক করুন c — এটি যেকোনো জটিল সংখ্যা হতে পারে। যদি আপনি শুরু করে সমীকরণটি পুনরাবৃত্তি করেন z = 0 এবং দেখুন যে আপনি যে সংখ্যাগুলি তৈরি করেছেন তা ছোট থাকে (বা সীমাবদ্ধ, যেমন গণিতবিদরা বলেন), তারপর c ম্যান্ডেলব্রট সেটে আছে। অন্যদিকে, আপনি যদি পুনরাবৃত্তি করেন এবং দেখতে পান যে শেষ পর্যন্ত আপনার সংখ্যা অসীমের দিকে বাড়তে শুরু করে, তাহলে c ম্যান্ডেলব্রট সেটে নেই।

এটা যে মান দেখানোর জন্য সোজা c শূন্যের কাছাকাছি সেটে আছে। এবং এটা একইভাবে সোজা যে বড় মান দেখান c হয় না কিন্তু জটিল সংখ্যাগুলি তাদের নামের উপর নির্ভর করে: সেটের সীমানাটি দুর্দান্তভাবে জটিল। পরিবর্তনের কোন সুস্পষ্ট কারণ নেই c ক্ষুদ্র পরিমাণে আপনাকে সীমানা অতিক্রম করতে বাধ্য করা উচিত, কিন্তু আপনি এটিতে জুম বাড়ালে, অবিরাম পরিমাণ বিশদ উপস্থিত হয়।

আরও কী, ম্যান্ডেলব্রট সেটটি জুলিয়া সেটের মানচিত্রের মতো কাজ করে, যা নীচের ইন্টারেক্টিভ চিত্রে দেখা যায়। এর একটি মান চয়ন করুন c ম্যান্ডেলব্রট সেটে। সংশ্লিষ্ট জুলিয়া সেট সংযুক্ত করা হবে। কিন্তু আপনি যদি Mandelbrot সেট ছেড়ে যান, তাহলে সংশ্লিষ্ট জুলিয়া সেটটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন হয়ে যাবে।