আপনি যদি এই মাসে গণিতের খবর অনুসরণ করে থাকেন তবে আপনি জানেন যে 35 বছর বয়সী সংখ্যা তাত্ত্বিক জেমস মেনার্ড একটি জিতেছেন। ফিল্ড মেডেল - একজন গণিতবিদদের জন্য সর্বোচ্চ সম্মান। মেনার্ড গণিতের প্রশ্নগুলি পছন্দ করেন যেগুলি "একজন উচ্চ বিদ্যালয়ের ছাত্রকে বোঝানোর জন্য যথেষ্ট সহজ কিন্তু বহু শতাব্দী ধরে গণিতবিদদের স্টাম্প করার পক্ষে যথেষ্ট কঠিন," কোয়ান্টা রিপোর্ট, এবং সেই সহজ প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি হল: আপনি যখন সংখ্যারেখা বরাবর সরে যাবেন, তখন কি সর্বদা একসাথে কাছাকাছি থাকা মৌলিক সংখ্যা থাকতে হবে?
আপনি হয়তো লক্ষ্য করেছেন যে গণিতবিদরা মৌলিক সংখ্যা নিয়ে আচ্ছন্ন। কি তাদের আকর্ষণ করে? হতে পারে এটাই সত্য যে মৌলিক সংখ্যা গণিতের কিছু মৌলিক কাঠামো এবং রহস্যকে মূর্ত করে। প্রাইমগুলি আমাদেরকে একটি অনন্য ফ্যাক্টরাইজেশনের সাথে প্রতিটি সংখ্যাকে শ্রেণীবদ্ধ এবং শ্রেণীবদ্ধ করার অনুমতি দিয়ে গুণনের মহাবিশ্বের মানচিত্র তৈরি করে। কিন্তু যদিও মানুষ গুণের শুরু থেকেই প্রাইম নিয়ে খেলছে, আমরা এখনও নিশ্চিত নই যে প্রাইমগুলি কোথায় দেখা যাবে, তারা কতটা ছড়িয়ে পড়বে বা কতটা কাছাকাছি হবে। আমরা যতদূর জানি, মৌলিক সংখ্যা কোন সাধারণ প্যাটার্ন অনুসরণ করে না।
এই মৌলিক বস্তুগুলির প্রতি আমাদের মুগ্ধতা শত শত বিভিন্ন ধরণের প্রাইমগুলির আবিষ্কার বা আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করেছে: মারসেন প্রাইম (ফর্ম 2-এর প্রাইমগুলি)n − 1), সুষম প্রাইম (প্রাইম যা দুটি প্রতিবেশী প্রাইমগুলির গড়), এবং সোফি জার্মেইন প্রাইম (একটি প্রাইম) p যেমন 2p + 1ও প্রাইম), কয়েকটির নাম।
সংখ্যা নিয়ে খেলা এবং নতুন কিছু আবিষ্কার করার ফলে এই বিশেষ প্রাইমগুলির প্রতি আগ্রহ বেড়েছে। এটি "ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম" এর ক্ষেত্রেও সত্য, তালিকায় একটি সাম্প্রতিক সংযোজন যা সবচেয়ে মৌলিক প্রশ্নগুলির বিষয়ে কিছু আশ্চর্যজনক ফলাফলের দিকে পরিচালিত করেছে: নির্দিষ্ট ধরণের প্রাইমগুলি কতটা বিরল বা সাধারণ হতে পারে?
এই প্রশ্নটির প্রশংসা করার জন্য, আসুন শুরু করা যাক প্রথম কৌতূহলী তথ্যগুলির একটি দিয়ে যা একজন উচ্চাকাঙ্ক্ষী সংখ্যা উত্সাহী শিখেন: অসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে৷ ইউক্লিড 2,000 বছর আগে গণিতের ইতিহাসের দ্বন্দ্বের দ্বারা সবচেয়ে বিখ্যাত প্রমাণগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে এটি প্রমাণ করেছিলেন। তিনি অনুমান করে শুরু করেছিলেন যে কেবলমাত্র অনেকগুলি প্রাইম রয়েছে এবং সমস্ত কল্পনা করেছিলেন n তাদের একটি তালিকায়:
$lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$।
তারপরে সে চতুর কিছু করেছিল: সে $latexq=p_1 বার p_2 বার p_3 বার … বার p_n+1$ নম্বর নিয়ে চিন্তা করেছিল।
লক্ষ্য করুন q প্রাইমগুলির তালিকায় থাকতে পারে না, কারণ এটি তালিকার সবকিছুর চেয়ে বড়। তাই যদি প্রাইমগুলির একটি সসীম তালিকা বিদ্যমান থাকে, এই সংখ্যাটি q প্রধান হতে পারে না। কিন্তু যদি q একটি মৌলিক নয়, এটি নিজেকে ছাড়া অন্য কিছু দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে এবং 1. এটি, ঘুরে, এর মানে হল q আবশ্যক তালিকার কিছু মৌলিক দ্বারা বিভাজ্য হতে, কিন্তু কারণ উপায় q নির্মিত হয়, বিভাজক q তালিকায় যেকোন কিছুর দ্বারা 1 এর অবশিষ্ট থাকে। তাই দৃশ্যত q মৌলিক নয় বা কোন মৌলিক দ্বারা বিভাজ্য নয়, যা একটি দ্বন্দ্ব যা অনুমান করে যে শুধুমাত্র সসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক রয়েছে। অতএব, এই দ্বন্দ্ব এড়ানোর জন্য, প্রকৃতপক্ষে অসীমভাবে অনেক প্রাইম থাকতে হবে।
প্রদত্ত যে তাদের মধ্যে অসীম অনেকগুলি রয়েছে, আপনি ভাবতে পারেন যে সমস্ত ধরণের প্রাইমগুলি খুঁজে পাওয়া সহজ, তবে একটি মৌলিক সংখ্যার গোয়েন্দারা পরবর্তী জিনিসগুলির মধ্যে একটি যা শিখেছেন তা হল প্রাইমগুলি কীভাবে বিস্তৃত হতে পারে। পরপর মৌলিক সংখ্যার মধ্যবর্তী স্থান সম্পর্কে একটি সাধারণ ফলাফল, যাকে প্রাইম গ্যাপ বলা হয়, বেশ আশ্চর্যজনক কিছু বলে।
প্রথম 10টি মৌলিক সংখ্যার মধ্যে — 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 এবং 29 — আপনি ফাঁক দেখতে পারেন যা এক বা একাধিক যৌগিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত (যে সংখ্যাগুলি মৌলিক নয়, যেমন 4, 12) অথবা 27)। আপনি এর মধ্যে যৌগিক সংখ্যা গণনা করে এই ফাঁকগুলি পরিমাপ করতে পারেন: উদাহরণস্বরূপ, 0 এবং 2 এর মধ্যে 3 আকারের একটি ফাঁক, 1 এবং 3 এবং 5 এবং 5 উভয়ের মধ্যে 7 আকারের একটি ফাঁক, 3 এর মধ্যে 7 আকারের ব্যবধান রয়েছে এবং 11, এবং তাই। এই তালিকার বৃহত্তম প্রাইম গ্যাপ পাঁচটি যৌগিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত — 24, 25, 26, 27 এবং 28 — 23 এবং 29 এর মধ্যে।
এখন অবিশ্বাস্য ফলাফলের জন্য: প্রাইম ফাঁকগুলি নির্বিচারে দীর্ঘ হতে পারে। এর মানে হল যে আপনি যতদূর কল্পনা করতে পারেন সেখানে পরপর মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। সম্ভবত অবিশ্বাস্য এই সত্য প্রমাণ করা কত সহজ।
আমরা ইতিমধ্যে উপরে 5 দৈর্ঘ্য একটি প্রাইম ফাঁক আছে. দৈর্ঘ্য 6 এক হতে পারে? একটি খুঁজে পাওয়ার আশায় প্রাইমগুলির তালিকা অনুসন্ধান করার পরিবর্তে, আমরা এটি নিজেরাই তৈরি করব। এটি করার জন্য আমরা মৌলিক গণনা সূত্রে ব্যবহৃত ফ্যাক্টোরিয়াল ফাংশন ব্যবহার করব: সংজ্ঞা অনুসারে, $latexn!=n times(n-1) বার (n-2) বার … বার 3 বার 2 বার 1$, উদাহরণস্বরূপ $ latex3!=3 বার 2 বার 1 = 6$ এবং $latex5!=5 বার 4 বার 3 বার 2 বার 1=120$।
এখন আমাদের প্রধান ফাঁক তৈরি করা যাক. পরপর সংখ্যার নিম্নলিখিত ক্রমটি বিবেচনা করুন:
$latex 7!+2$, $latex7!+3$, $latex 7!+4$, $latex7!+5$, $latex 7!+6$, $latex 7!+7$।
যেহেতু $latex7!=7 বার 6 বার 5 বার 4 বার 3 বার2 বার 1$, আমাদের অনুক্রমের প্রথম সংখ্যা, $latex7!+2$, 2 দ্বারা বিভাজ্য, যা আপনি একটু ফ্যাক্টরিংয়ের পরে দেখতে পারেন:
$latex7!+2=7 বার 6 বার 5 বার 4 বার 3 বার2 বার 1+2$
$latex= 2(7 বার 6 বার 5 বার 4 বার 3 বার 1+1)$।
একইভাবে, দ্বিতীয় সংখ্যা, $latex7!+3$, 3 দ্বারা বিভাজ্য, যেহেতু
$latex7!+3=7 বার 6 বার 5 বার 4 বার 3 বার2 বার 1+3$
$latex= 3(7 বার 6 বার 5 বার 4 বার 2 বার 1+1)$।
একইভাবে, 7! + 4 4, 7 দ্বারা বিভাজ্য! + 5 দ্বারা 5, 7! + 6 দ্বারা 6, এবং 7! + 7 দ্বারা 7, যা 7 করে! +2, 7! +3, 7! + 4, 7! + 5, 7! +6, 7! + 7 পরপর ছয়টি যৌগিক সংখ্যার একটি ক্রম। আমাদের অন্তত ৬ এর প্রাইম গ্যাপ আছে।
এই কৌশলটি সাধারণীকরণ করা সহজ। ক্রম
$latexn!+2$, $latexn!+3$, $latexn!+4$, $latex…$, $latexn!+n$।
$latexn-1$ পরপর যৌগিক সংখ্যার একটি ক্রম, যার মানে হল যে কোনো n, অন্তত $latexn-1$ এর দৈর্ঘ্য সহ একটি প্রাইম গ্যাপ আছে। এটি দেখায় যে যথেচ্ছভাবে দীর্ঘ মৌলিক ব্যবধান রয়েছে, এবং তাই প্রাকৃতিক সংখ্যার তালিকার সাথে এমন জায়গা রয়েছে যেখানে নিকটতম মৌলিক 100, বা 1,000, বা এমনকি 1,000,000,000 সংখ্যাগুলি আলাদা।
এই ফলাফলগুলিতে একটি ক্লাসিক উত্তেজনা দেখা যায়। অসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, তবুও ধারাবাহিক মৌলিক সংখ্যাগুলিও অসীমভাবে দূরে হতে পারে। আরো কি, অসীমভাবে অনেকগুলো পরপর প্রাইম আছে যেগুলো একসাথে কাছাকাছি। প্রায় 10 বছর আগে ইতাং ঝাং-এর যুগান্তকারী কাজটি ব্যবধান বন্ধ করার এবং যমজ প্রাইম অনুমানকে প্রমাণ করার জন্য একটি দৌড় শুরু করেছিল, যা দাবি করে যে অসীমভাবে অনেক জোড়া প্রাইম রয়েছে যেগুলির মধ্যে মাত্র 2 দ্বারা পার্থক্য রয়েছে৷ যমজ প্রাইম অনুমান হল অন্যতম একটি গণিতের বিখ্যাত উন্মুক্ত প্রশ্ন, এবং জেমস মেনার্ড এই অধরা ফলাফল প্রমাণের জন্য তার নিজস্ব গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছেন।
তথাকথিত ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম সম্পর্কে সাম্প্রতিক ফলাফলেও এই উত্তেজনা রয়েছে। এই সংখ্যাগুলি কী এবং কোথায় হতে পারে বা নাও হতে পারে তা বোঝার জন্য, নিম্নলিখিত অদ্ভুত প্রশ্নটি চিন্তা করার জন্য একটু সময় নিন: এমন একটি দুই-সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা আছে যা সর্বদা তার সংখ্যার কোনও পরিবর্তনের সাথে সংমিশ্রিত হয়?
ডিজিটাল সূক্ষ্মতার জন্য একটি অনুভূতি পেতে, আসুন 23 নম্বরটি নিয়ে খেলা করি। আমরা জানি এটি একটি প্রাইম, কিন্তু আপনি যদি এর সংখ্যা পরিবর্তন করেন তবে কী হবে? ঠিক আছে, 20, 22, 24, 26 এবং 28 সবই জোড়, এবং এইভাবে যৌগিক; 21 3 দ্বারা বিভাজ্য, 25 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং 27 9 দ্বারা বিভাজ্য। এখন পর্যন্ত, তাই ভাল। কিন্তু যদি আপনি একটি সংখ্যা 9 এ পরিবর্তন করেন, আপনি 29 পাবেন, যা এখনও একটি প্রাইম। তাই 23 আমরা যে ধরনের প্রাইম খুঁজছি তা নয়।
37 সম্পর্কে কি? আমরা উপরে যেমন দেখেছি, 5-এ শেষ হওয়া জোড় সংখ্যা বা সংখ্যাগুলি পরীক্ষা করতে আমাদের বিরক্ত করার দরকার নেই, তাই আমরা কেবল 31, 33 এবং 39 পরীক্ষা করব। যেহেতু 31ও মৌলিক, তাই 37ও কাজ করে না।
যেমন একটি সংখ্যা এমনকি বিদ্যমান? উত্তরটি হ্যাঁ, তবে আমাদের এটি খুঁজে পেতে 97 পর্যন্ত যেতে হবে: 97 একটি মৌলিক, কিন্তু 91 (7 দ্বারা বিভাজ্য), 93 (3 দ্বারা বিভাজ্য) এবং 99 (3 দ্বারা বিভাজ্য) সবগুলি যৌগিক , জোড় সংখ্যা এবং 95 সহ।
একটি মৌলিক সংখ্যা হল "সূক্ষ্ম" যদি, আপনি যখন এটির যেকোনো একটি সংখ্যাকে অন্য কিছুতে পরিবর্তন করেন, তখন এটি তার "প্রাথমিকতা" (বা প্রাইম্যালিটি, প্রযুক্তিগত শব্দ ব্যবহার করার জন্য) হারায়। এখন পর্যন্ত আমরা দেখতে পাচ্ছি যে 97 সংখ্যার মধ্যে সূক্ষ্ম - যেহেতু সেই অঙ্কটি পরিবর্তন করা সর্বদা একটি যৌগিক সংখ্যা তৈরি করে - কিন্তু 97 কি ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম হওয়ার সম্পূর্ণ মানদণ্ড পূরণ করে? উত্তরটি না, কারণ আপনি যদি দশ অঙ্কটি 1 এ পরিবর্তন করেন তবে আপনি 17 পাবেন, একটি মৌলিক। (লক্ষ্য করুন যে 37, 47 এবং 67 একই সাথে সমস্ত মৌলিক।)
প্রকৃতপক্ষে, কোনও দ্বি-সংখ্যার ডিজিটালি ডেলিকেট প্রাইম নেই। নিচের সমস্ত দুই-অঙ্কের সংখ্যার সারণী, যেখানে দুই-অঙ্কের প্রাইমগুলি ছায়াযুক্ত, কেন দেখায়।
যেকোনো প্রদত্ত সারির সমস্ত সংখ্যার একই দশ অঙ্ক থাকে এবং যে কোনো প্রদত্ত কলামের সমস্ত সংখ্যার একই অঙ্ক থাকে। সত্য যে 97 এর সারিতে একমাত্র ছায়াযুক্ত সংখ্যা এটি প্রতিফলিত করে যে এটি এক অঙ্কে সূক্ষ্ম, কিন্তু এটি তার কলামে একমাত্র প্রাইম নয়, যার অর্থ এটি দশ অঙ্কে সূক্ষ্ম নয়।
একটি ডিজিটালি সূক্ষ্ম দুই-সংখ্যার প্রাইমকে এর সারি এবং কলামে একমাত্র প্রাইম হতে হবে। সারণী দেখায়, এই ধরনের কোন দুই-অঙ্কের প্রাইম বিদ্যমান নেই। একটি ডিজিটালি সূক্ষ্ম তিন অঙ্কের প্রাইম সম্পর্কে কি? এখানে 100 এবং 199-এর মধ্যে তিন-সংখ্যার প্রাইমগুলির বিন্যাস দেখানো একটি অনুরূপ সারণী, যৌগিক সংখ্যাগুলি বাদ দেওয়া হয়েছে৷
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে 113 তার নিজস্ব সারিতে রয়েছে, যার মানে এটি সংখ্যায় সূক্ষ্ম। কিন্তু 113 তার নিজস্ব কলামে নেই, তাই দশ অঙ্কের কিছু পরিবর্তন (যেমন 0 এর জন্য 103 বা 6 এর জন্য 163) প্রাইম তৈরি করে। যেহেতু কোনো সংখ্যাই তার নিজস্ব সারি এবং নিজস্ব কলাম উভয় ক্ষেত্রেই দেখা যায় না, তাই আমরা দ্রুত দেখতে পাচ্ছি এমন কোনো তিন-সংখ্যা সংখ্যা নেই যা যৌগিক হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত যদি আপনি এটির সংখ্যা বা দশ সংখ্যা পরিবর্তন করেন। এর মানে কোনো তিন অঙ্কের ডিজিটালি ডেলিকেট প্রাইম থাকতে পারে না। আমরা এমনকি শত সংখ্যা চেক না যে লক্ষ্য করুন. সত্যিকারের ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম হতে হলে, একটি তিন-সংখ্যার সংখ্যাকে একটি ত্রিমাত্রিক টেবিলের তিনটি দিক থেকে প্রাইম এড়াতে হবে।
ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম এমনকি বিদ্যমান? আপনি সংখ্যা রেখায় আরও এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে প্রাইমগুলি স্পার্সার হতে থাকে, যা তাদের এই উচ্চ-মাত্রিক টেবিলের সারি এবং কলামে পাথ অতিক্রম করার সম্ভাবনা কম করে তোলে। কিন্তু বৃহত্তর সংখ্যার আরো সংখ্যা আছে, এবং প্রতিটি অতিরিক্ত অঙ্ক ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম প্রাইম হওয়ার সম্ভাবনা হ্রাস করে।
আপনি যদি চালিয়ে যান, আপনি আবিষ্কার করবেন যে ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইমগুলি বিদ্যমান। সবচেয়ে ছোটটি হল 294,001। আপনি যখন এটির একটি সংখ্যা পরিবর্তন করেন, আপনি যে সংখ্যাটি পাবেন — 794,001, বলুন, বা 284,001 — যৌগিক হবে৷ এবং আরও আছে: পরবর্তী কয়েকটি হল 505,447; 584,141; 604,171; 971,767; এবং 1,062,599। আসলে, তারা থামে না। বিখ্যাত গণিতবিদ পল এরডস প্রমাণ করেছিলেন যে অসীমভাবে অনেকগুলি ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম প্রাইম রয়েছে। এবং এই কৌতূহলী সংখ্যা সম্পর্কে অনেক আশ্চর্যজনক ফলাফলের মধ্যে এটিই ছিল প্রথম।
উদাহরণস্বরূপ, Erdős শুধুমাত্র প্রমাণ করেননি যে অসীমভাবে অনেকগুলি ডিজিটালি উপাদেয় প্রাইম রয়েছে: তিনি প্রমাণ করেছেন যে কোনও বেসে অসীমভাবে অনেকগুলি ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম রয়েছে। তাই আপনি যদি আপনার সংখ্যাগুলিকে বাইনারি, টারনারি বা হেক্সাডেসিমেলে উপস্থাপন করতে চান, তাহলে আপনি এখনও অনেকগুলি ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা পাবেন।
এবং ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইমগুলি কেবল অসীম নয়: তারা সমস্ত মৌলিক সংখ্যার একটি শূন্য শতাংশ নিয়ে গঠিত। এর মানে হল যে আপনি যদি ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইমগুলির সংখ্যার সাথে সামগ্রিক প্রাইমগুলির সংখ্যার অনুপাতটি দেখেন তবে এই ভগ্নাংশটি শূন্যের চেয়ে বেশি কিছু সংখ্যা। প্রযুক্তিগত পরিভাষায়, সমস্ত প্রাইমগুলির একটি "ধনাত্মক অনুপাত" ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম, যেমনটি ফিল্ডস পদক বিজয়ী টেরেন্স টাও 2010 সালে প্রমাণ করেছিলেন৷ প্রাইমগুলি নিজেই সমস্ত সংখ্যার একটি ধনাত্মক অনুপাত তৈরি করে না, যেহেতু আপনি কম এবং কম প্রাইম পাবেন৷ আপনি সংখ্যারেখা বরাবর যত দূরে যাবেন। তবুও এই প্রাইমগুলির মধ্যে, আপনি প্রায়শই ডিজিটেলি সূক্ষ্ম প্রাইমগুলি খুঁজে পেতে থাকবেন যাতে সূক্ষ্ম প্রাইম এবং মোট প্রাইমগুলির অনুপাত শূন্যের উপরে রাখা যায়।
সম্ভবত সবচেয়ে মর্মান্তিক আবিষ্কার ছিল একটি 2020 থেকে ফলাফল এই অদ্ভুত সংখ্যার একটি নতুন পরিবর্তন সম্পর্কে। একটি অঙ্ক কী তার ধারণাটি শিথিল করে, গণিতবিদরা একটি সংখ্যার প্রতিনিধিত্বকে পুনরায় কল্পনা করেছিলেন: নিজের দ্বারা 97 সম্পর্কে চিন্তা করার পরিবর্তে, তারা এটিকে অগ্রণী শূন্য বলে মনে করেছিলেন:
…0000000097।
প্রতিটি অগ্রণী শূন্যকে একটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং ডিজিটাল সুস্বাদুতার প্রশ্নটি এই নতুন উপস্থাপনাগুলিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। সেখানে কি "বিস্তৃতভাবে ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম" থাকতে পারে - মৌলিক সংখ্যা যা সর্বদা যৌগিক হয়ে যায় যদি আপনি যেকোনও সংখ্যা পরিবর্তন করেন, সেই অগ্রণী শূন্যগুলির মধ্যে যেকোনো একটি সহ? গণিতবিদ মাইকেল ফিলাসেটা এবং জেরেমিয়া সাউথউইকের কাজের জন্য ধন্যবাদ, আমরা জানি যে উত্তরটি আশ্চর্যজনকভাবে হ্যাঁ। শুধুমাত্র ব্যাপকভাবে ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইমগুলিই বিদ্যমান নয়, তবে তাদের অনেকগুলি অসীম রয়েছে।
মৌলিক সংখ্যা পেশাদার এবং উত্সাহীদের সাথে খেলার জন্য গাণিতিক ধাঁধার একটি অসীম স্ট্রিং গঠন করে। আমরা তাদের সমস্ত রহস্য উন্মোচন করতে পারি না, তবে আপনি গণিতবিদদের উপর নির্ভর করতে পারেন ক্রমাগত আবিষ্কার করতে এবং আবিষ্কার করতে, নতুন ধরণের অন্বেষণ করতে।
অনুশীলন
1. 2 থেকে 101 পর্যন্ত প্রাইমগুলির মধ্যে সবচেয়ে বড় প্রাইম গ্যাপ কত?
2. প্রমাণ করার জন্য যে অসীমভাবে অনেকগুলি প্রাইম আছে, ইউক্লিড ধরে নেয় যে $latex_1, p_2, p_3, …, p_n$ আছে, এবং তারপর দেখায় যে $latexq=p_1 বার p_2 বার p_3 বার … বার p_n+1$ isn তালিকার কোনো মৌলিক দ্বারা বিভাজ্য নয়। এর মানে কি তা নয় q প্রধান হতে হবে?
3. সংখ্যা তত্ত্বের একটি বিখ্যাত ফলাফল হল যে এর মধ্যে সর্বদা একটি মৌলিক থাকে k এবং 2k (অন্তর্ভুক্ত). এটি প্রমাণ করা কঠিন, তবে এটি প্রমাণ করা সহজ যে এর মধ্যে সর্বদা একটি প্রাইম থাকে k এবং $latexq=p_1 বার p_2 বার p_3 বার … বার p_n+1$ (অন্তর্ভুক্ত), যেখানে $lateexp_1, p_2, p_3, …, p_n$ সব প্রাইম এর থেকে কম বা সমান k. প্রমান কর.
4. আপনি কি ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন যেটি এক এবং দশ সংখ্যার মধ্যে ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম? এর মানে হল যে এক বা দশ সংখ্যা পরিবর্তন করা সর্বদা একটি যৌগিক সংখ্যা তৈরি করবে। (আপনি এটি করার জন্য একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম লিখতে চাইতে পারেন!)
চ্যালেঞ্জ সমস্যা: আপনি কি ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারেন যা ডিজিটালি সূক্ষ্ম হয় যখন বাইনারিতে উপস্থাপন করা হয়? মনে রাখবেন যে বাইনারি বা বেস 2-এ, শুধুমাত্র সংখ্যাগুলি হল 0 এবং 1, এবং প্রতিটি স্থানের মান 2 এর শক্তিকে প্রতিনিধিত্ব করে৷ উদাহরণস্বরূপ, 8 কে $latex1000_2$ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়েছে, যেহেতু $latex 8=1 গুণ 2^3 + 0 গুণ 2^2 + 0 গুণ 2^1 + 0 গুণ 2^0$, এবং বেস 7-এ 2 হল $latex111_2$, যেহেতু $latex7=1 গুণ 2^2 + 1 গুণ 2^1 + 1 গুণ 2^0$।
উত্তর 1 এর জন্য ক্লিক করুন:
উত্তর 2 এর জন্য ক্লিক করুন:
নং। প্রথম ছয়টি প্রাইম বিবেচনা করুন: 2, 3, 5, 7, 11 এবং 13। এই ক্ষেত্রে সংখ্যা q হবে $latex 2 গুণ 3 গুণ 5 গুণ 7 গুণ 11 গুণ13 + 1 = 30,031$। এটি 2, 3, 5, 7, 11 বা 13 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে এটি একটি মৌলিক নয়: এটি $latex 30,031 = 59 বার 509$ হিসাবে গুণিত করে। লক্ষ্য করুন এটির মৌলিক গুণনীয়ক রয়েছে, তবে সেগুলি সবই প্রথম ছয়টি প্রাইম থেকে বড়।
উত্তর 3 এর জন্য ক্লিক করুন:
যদি হয় k or q আমরা শেষ করেছি। যদি q এটি মৌলিক নয় এটি যৌগিক, যার মানে এটি কিছু মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে জানি যে এটি প্রথম কোনটি দ্বারা বিভাজ্য নয় n প্রাইম সুতরাং এটিকে প্রথমটির থেকে বড় একটি মৌলিক দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে n মৌলিক, এবং যেহেতু এই সব প্রাইম এর চেয়ে কম k, এই প্রাইম এর চেয়ে বড় হতে হবে k. কিন্তু এই প্রধান বিভাজন q, তাই এটা কম হতে হবে q, তাই এর মধ্যে একটি প্রাইম থাকতে হবে k এবং q.
উত্তর 4 এর জন্য ক্লিক করুন:
প্রথম প্রাইম যেটি এই সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্ট করে তা হল 2,459, যেহেতু 2,451, 2,453 এবং 2,457 সবগুলিই কম্পোজিট (সূক্ষ্ম অঙ্কের মানদণ্ডকে সন্তুষ্ট করে) এবং 2,409, 2,419, 2,429, 2,439, 2,449, 2,469, 2,479, 2,489, 2,499, 2,459, 2,659, XNUMX, XNUMX, সূক্ষ্ম দশ অঙ্কের মানদণ্ড)। তবুও XNUMX ডিজিটালভাবে সূক্ষ্ম নয়, কারণ XNUMX প্রাইম, তাই আপনি একবার শত অঙ্ক বিবেচনা করা শুরু করলে এটি ব্যর্থ হয়। (গণিতবিদ জন ডি. কুককে ধন্যবাদ তার প্রকাশ করার জন্য ডিজিটালি সূক্ষ্ম প্রাইম-ফাইন্ডিং পাইথন কোড.)
চ্যালেঞ্জ সমস্যার উত্তরের জন্য ক্লিক করুন:
$latex127=1111111_2$ হল ডিজিটালি সূক্ষ্ম, যেহেতু $latex 126=1111110_2$, $latex125=1111101_2$, $latex123=1111011_2$, $latex119=1110111_2$, $111=1101111$, $2_95$, $1011111_2$latex=$63_0111111$, =2_XNUMX$ সবই যৌগিক।
