إذا كنت تتابع أخبار الرياضيات هذا الشهر ، فأنت تعلم أن المنظر جيمس ماينارد البالغ من العمر 35 عامًا فاز بجائزة ميدالية الحقول - أعلى وسام للرياضيات. يحب ماينارد أسئلة الرياضيات التي "تكون بسيطة بما يكفي لشرحها لطالب في المدرسة الثانوية ولكنها صعبة بما يكفي لإثارة حيرة علماء الرياضيات لعدة قرون ،" كوانتا وذكرت، وأحد هذه الأسئلة البسيطة هو: أثناء تحركك على طول خط الأعداد ، هل يجب أن يكون هناك دائمًا أعداد أولية قريبة من بعضها؟
ربما لاحظت أن علماء الرياضيات مهووسون بالأعداد الأولية. ما الذي يجذبهم؟ ربما تكون حقيقة أن الأعداد الأولية تجسد بعض التراكيب الأساسية والألغاز في الرياضيات. تحدد الأعداد الأولية عالم الضرب من خلال السماح لنا بتصنيف كل رقم وتصنيفه بعامل فريد. ولكن على الرغم من أن البشر كانوا يلعبون بالأعداد الأولية منذ فجر الضرب ، ما زلنا غير متأكدين تمامًا من المكان الذي ستظهر فيه الأعداد الأولية ، أو مدى انتشارها ، أو مدى قربها. على حد علمنا ، لا تتبع الأعداد الأولية نمطًا بسيطًا.
أدى افتتاننا بهذه الأشياء الأساسية إلى اختراع أو اكتشاف مئات الأنواع المختلفة من الأعداد الأولية: Mersenne primimes (primes of the form 2)n - 1) ، الأعداد الأولية المتوازنة (الأعداد الأولية التي هي متوسط اثنين من الأعداد الأولية المتجاورة) ، و Sophie Germain primes (رئيس الوزراء p مثل هذا 2p + 1 هو أيضًا عدد أولي) ، على سبيل المثال لا الحصر.
نما الاهتمام بهذه الأعداد الأولية الخاصة من اللعب بالأرقام واكتشاف شيء جديد. وهذا ينطبق أيضًا على "الأعداد الأولية الحساسة رقميًا" ، وهي إضافة حديثة إلى القائمة أدت إلى بعض النتائج المدهشة حول أبسط الأسئلة: إلى أي مدى يمكن أن تكون أنواع معينة من الأعداد الأولية نادرة أو شائعة؟
لتقدير هذا السؤال ، لنبدأ بواحدة من أولى الحقائق المثيرة للاهتمام التي يتعلمها المتحمسون للأرقام: هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. أثبت إقليدس هذا قبل 2,000 عام باستخدام أحد أشهر البراهين بالتناقض في تاريخ الرياضيات كله. بدأ بافتراض أنه لا يوجد سوى عدد محدود من الأعداد الأولية وتخيل الجميع n منهم في قائمة:
latexp_1، p_2، p_3،…، p_n $.
ثم فعل شيئًا ذكيًا: لقد فكر في الرقم $ latexq = p_1 مرات p_2 مرات p_3 مرات ... مرات p_n + 1 $.
لاحظ أن q لا يمكن أن تكون في قائمة الأعداد الأولية ، لأنها أكبر من كل شيء في القائمة. لذلك إذا كانت هناك قائمة محدودة من الأعداد الأولية ، فهذا الرقم q لا يمكن أن يكون رئيسيا. لكن اذا q ليس عددًا أوليًا ، يجب أن يكون قابلاً للقسمة على شيء آخر غير نفسه و 1. وهذا بدوره يعني ذلك يجب ف تكون قابلة للقسمة على عدد أولي في القائمة ، ولكن بسبب الطريقة q مبني ، مقسم q بأي شيء في القائمة يترك ما تبقى من 1. لذلك على ما يبدو q ليس عددًا أوليًا ولا يقبل القسمة على أي عدد أولي ، وهو تناقض ينتج عن افتراض أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الأولية. لذلك ، لتجنب هذا التناقض ، يجب في الواقع أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.
نظرًا لوجود عدد لا حصر له منهم ، قد تعتقد أنه من السهل العثور على الأعداد الأولية من جميع الأنواع ، ولكن أحد الأشياء التالية التي يتعلمها محقق الأعداد الأولية هو مدى انتشار الأعداد الأولية. نتيجة بسيطة حول المسافات بين الأعداد الأولية المتتالية ، تسمى الفجوات الأولية ، تقول شيئًا مفاجئًا تمامًا.
من بين أول 10 أعداد أولية - 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 و 29 - يمكنك أن ترى فجوات تتكون من رقم مركب واحد أو أكثر (الأرقام غير الأولية ، مثل 4 ، 12 أو 27). يمكنك قياس هذه الفجوات عن طريق حساب الأرقام المركبة بينهما: على سبيل المثال ، هناك فجوة في الحجم 0 بين 2 و 3 ، فجوة في الحجم 1 بين كل من 3 و 5 و 5 و 7 ، فجوة في الحجم 3 بين 7 و 11 وما إلى ذلك. تتكون أكبر فجوة أولية في هذه القائمة من خمسة أعداد مركبة - 24 و 25 و 26 و 27 و 28 - بين 23 و 29.
الآن للحصول على النتيجة المذهلة: يمكن أن تكون الفجوات الأولية طويلة بشكل تعسفي. هذا يعني أنه توجد أعداد أولية متتالية متباعدة بقدر ما يمكنك أن تتخيله. ربما لا يُصدق مدى سهولة إثبات هذه الحقيقة.
لدينا بالفعل فجوة أولية بطول 5 أعلاه. هل يمكن أن يكون هناك واحد بطول 6؟ بدلاً من البحث في قوائم الأعداد الأولية على أمل العثور على واحدة ، سنقوم ببنائها بأنفسنا. للقيام بذلك ، سنستخدم الدالة العاملية المستخدمة في معادلات العد الأساسية: بحكم التعريف ، $ latexn! اللاتكس 1! = 2 مرات 3 مرات 2 = 1 دولارات و دولار لاتكس 3! = 3 مرات 2 مرات 1 مرات 6 مرات 5 = 5 دولار.
لنقم الآن ببناء الفجوة الأولية. ضع في اعتبارك التسلسل التالي للأرقام المتتالية:
$ اللاتكس 7! + 2 $ ، $ latex7! + 3 $ ، $ latex 7! + 4 $ ، $ latex7! + 5 $ ، $ latex 7! + 6 $ ، $ latex 7! + 7 $.
نظرًا لأن $ latex7! = 7 مرات 6 مرات 5 مرات 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 دولار ، فإن الرقم الأول في تسلسلنا ، $ latex7! + 2 $ ، قابل للقسمة على 2 ، والذي يمكنك رؤيته بعد قليل من التحليل:
$ latex7! + 2 = 7 مرات 6 مرات 5 مرات 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 + 2 دولار
اللاتكس دولار = 2 (7 مرات 6 مرات 5 مرات 4 مرات 3 مرات 1 + 1) دولار.
وبالمثل ، فإن الرقم الثاني ، وهو $ latex7! + 3 $ ، قابل للقسمة على 3 ، منذ ذلك الحين
$ latex7! + 3 = 7 مرات 6 مرات 5 مرات 4 مرات 3 مرات 2 مرات 1 + 3 دولار
اللاتكس دولار = 3 (7 مرات 6 مرات 5 مرات 4 مرات 2 مرات 1 + 1) دولار.
وبالمثل ، 7! + 4 يقبل القسمة على 4 ، 7! + 5 في 5 ، 7! + 6 في 6 و 7! + 7 في 7 ، مما يجعل 7! + 2 ، 7! + 3 ، 7! + 4 ، 7! + 5 ، 7! + 6 ، 7! + 7 تسلسل من ستة أرقام مركبة متتالية. لدينا فجوة أولية لا تقل عن 6.
هذه الإستراتيجية سهلة التعميم. الترتيب
$ latexn! + 2 $، $ latexn! + 3 $، $ latexn! + 4 $، $ latex… $، $ latexn! + n $.
عبارة عن سلسلة من الأرقام المركبة المتتالية $ latexn-1 $ ، مما يعني ذلك ، لأي n، هناك فجوة أولية بطول لا يقل عن $ latexn-1 $. هذا يدل على وجود فجوات أولية طويلة بشكل تعسفي ، وهكذا على طول قائمة الأعداد الطبيعية توجد أماكن يكون فيها أقرب الأعداد الأولية 100 ، أو 1,000،1,000,000,000 ، أو حتى XNUMX،XNUMX،XNUMX،XNUMX رقم.
يمكن رؤية التوتر الكلاسيكي في هذه النتائج. يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، لكن الأعداد الأولية المتتالية يمكن أن تكون متباعدة بشكل لا نهائي. علاوة على ذلك ، هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية المتتالية القريبة من بعضها. منذ حوالي 10 سنوات ، أطلق العمل الرائد لـ Yitang Zhang سباقًا لسد الفجوة وإثبات تخمين التوأم الأولي ، والذي يؤكد أن هناك عددًا لا نهائيًا من أزواج الأعداد الأولية التي تختلف بـ2 فقط. أسئلة مفتوحة شهيرة في الرياضيات ، وقد قدم جيمس ماينارد مساهماته الخاصة لإثبات هذه النتيجة المراوغة.
هذا التوتر موجود أيضًا في النتائج الأخيرة حول ما يسمى بالأعداد الأولية الحساسة رقميًا. للتعرف على ماهية هذه الأعداد وأين قد تكون أو لا تكون ، توقف لحظة لتفكر في السؤال الغريب التالي: هل هناك عدد أولي مكون من رقمين يصبح دائمًا مركبًا مع أي تغيير في خانة الآحاد؟
للتعرف على الحساسية الرقمية ، دعنا نلعب بالرقم 23. نحن نعلم أنه عدد أولي ، ولكن ماذا يحدث إذا غيرت رقم الآحاد؟ حسنًا ، 20 و 22 و 24 و 26 و 28 كلها زوجية ، وبالتالي فهي مركبة ؛ 21 يقبل القسمة على 3 ، و 25 يقبل القسمة على 5 ، و 27 يقبل القسمة على 9. حتى الآن ، جيد جدًا. ولكن إذا غيرت رقم الآحاد إلى 9 ، فستحصل على 29 ، وهو ما يزال عددًا أوليًا. إذن ، 23 ليس من نوع الشرطة التي نبحث عنها.
ماذا عن 37؟ كما رأينا أعلاه ، لسنا بحاجة إلى عناء التحقق من الأعداد الزوجية أو التي تنتهي بالرقم 5 ، لذلك سنقوم فقط بالتحقق من 31 و 33 و 39. نظرًا لأن 31 عدد أولي أيضًا ، فإن 37 لا يعمل أيضًا.
هل يوجد مثل هذا الرقم؟ الإجابة هي نعم ، ولكن يجب أن نذهب إلى 97 للعثور عليه: 97 عدد أولي ، لكن 91 (يقبل القسمة على 7) ، 93 (يقبل القسمة على 3) و 99 (أيضًا يقبل القسمة على 3) كلها مركبة ، جنبًا إلى جنب مع الأعداد الزوجية و 95.
يعتبر الرقم الأولي "دقيقًا" إذا ، عندما تقوم بتغيير أي رقم من أرقامه إلى أي شيء آخر ، فإنه يفقد "بدائته" (أو البدائية ، لاستخدام المصطلح التقني). حتى الآن ، نرى أن 97 حساسًا في خانة الآحاد - نظرًا لأن تغيير هذا الرقم ينتج دائمًا رقمًا مركبًا - ولكن هل 97 يلبي المعايير الكاملة لكونه دقيقًا رقميًا؟ الإجابة هي لا ، لأنك إذا غيرت رقم العشرات إلى 1 ، فستحصل على 17 ، عدد أولي. (لاحظ أن 37 و 47 و 67 كلها أعداد أولية أيضًا).
في الواقع ، لا يوجد عدد أولي دقيق رقميًا مكون من رقمين. يوضح الجدول التالي لجميع الأعداد المكونة من رقمين ، مع الأعداد الأولية المكونة من رقمين ، سبب ذلك.
جميع الأرقام في أي صف لها نفس رقم العشرات ، وجميع الأرقام في أي عمود معين لها نفس رقم الآحاد. حقيقة أن 97 هو الرقم المظلل الوحيد في صفه يعكس حقيقة أنه دقيق في خانة الآحاد ، لكنه ليس العدد الأول في العمود ، مما يعني أنه ليس دقيقًا في خانة العشرات.
يجب أن يكون العدد الأولي الحساس رقميًا المكون من رقمين هو الأول الوحيد في صفه وعموده. كما يوضح الجدول ، لا يوجد مثل هذا العدد الأولي المكون من رقمين. ماذا عن عدد أولي حساس رقميًا من ثلاثة أرقام؟ فيما يلي جدول مشابه يوضح تخطيط الأعداد الأولية المكونة من ثلاثة أرقام بين 100 و 199 ، مع حذف الأرقام المركبة.
نرى هنا أن 113 في صفها الخاص ، مما يعني أنها حساسة في خانة الآحاد. لكن الرقم 113 ليس في العمود الخاص به ، لذا فإن بعض التغييرات في رقم العشرات (مثل 0 لـ 103 أو 6 لـ 163) ينتج عنها أعداد أولية. نظرًا لعدم ظهور أي رقم في كل من الصف الخاص به والعمود الخاص به ، فإننا نرى بسرعة أنه لا يوجد رقم مكون من ثلاثة أرقام مضمون ليكون مركبًا إذا قمت بتغيير رقمه أو رقم العشرات. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك عدد أولي دقيق رقميًا مكون من ثلاثة أرقام. لاحظ أننا لم نتحقق حتى من خانة المئات. لكي تكون حساسًا رقميًا حقًا ، يجب أن يتجنب الرقم المكون من ثلاثة أرقام الأعداد الأولية في ثلاثة اتجاهات في جدول ثلاثي الأبعاد.
هل توجد حتى الأعداد الأولية الحساسة رقميًا؟ كلما تقدمت في خط الأعداد ، تميل الأعداد الأولية إلى أن تصبح متناثرة ، مما يجعلها أقل احتمالية لتقاطع المسارات في الصفوف والأعمدة في هذه الجداول عالية الأبعاد. لكن الأعداد الأكبر تحتوي على عدد أكبر من الأرقام ، وكل رقم إضافي يقلل من احتمالية أن يكون العدد الأولي دقيقًا رقميًا.
إذا واصلت المضي قدمًا ، فستكتشف أن الأعداد الأولية الحساسة رقميًا موجودة بالفعل. الأصغر هو 294,001،794,001. عندما تقوم بتغيير أحد أرقامه ، فإن الرقم الذي تحصل عليه - 284,001،505,447 ، على سبيل المثال ، أو 584,141،604,171 - سيكون مركبًا. وهناك المزيد: القلة التالية هي 971,767 ؛ 1,062,599 ؛ XNUMX ؛ XNUMX ؛ و XNUMX،XNUMX،XNUMX. في الواقع ، لا يتوقفون. أثبت عالم الرياضيات الشهير Paul Erdős أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية الحساسة رقميًا. وكانت تلك مجرد أول نتيجة من بين العديد من النتائج المفاجئة حول هذه الأرقام المثيرة للفضول.
على سبيل المثال ، لم يثبت Erdős فقط أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية الحساسة رقميًا: لقد أثبت أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية الحساسة رقميًا في أي قاعدة. لذلك إذا اخترت تمثيل الأرقام الخاصة بك في ثنائي أو ثلاثي أو سداسي عشري ، فلا يزال من المضمون العثور على عدد لا نهائي من الأعداد الأولية الدقيقة رقميًا.
والأعداد الأولية الدقيقة رقمياً ليست فقط لانهائية: فهي تشكل نسبة مئوية غير صفرية من جميع الأعداد الأولية. هذا يعني أنك إذا نظرت إلى نسبة عدد الأعداد الأولية الدقيقة إلى عدد الأعداد الأولية بشكل عام ، فإن هذا الكسر هو عدد أكبر من الصفر. من الناحية الفنية ، فإن "النسبة الإيجابية" من جميع الأعداد الأولية حساسة رقميًا ، كما أثبت الحاصل على ميدالية فيلدز تيرينس تاو في عام 2010. الأعداد الأولية نفسها لا تشكل نسبة إيجابية من جميع الأرقام ، حيث ستجد عددًا أقل وأقل من الأعداد الأولية كلما ابتعدت على طول خط الأعداد. ومع ذلك ، من بين تلك الأعداد الأولية ، ستستمر في العثور على الأعداد الأولية الحساسة رقميًا في كثير من الأحيان بما يكفي للحفاظ على نسبة الأعداد الأولية الدقيقة إلى مجموع الأعداد الأولية أعلى من الصفر.
ربما كان الاكتشاف الأكثر إثارة للصدمة هو أ نتيجة عام 2020 حول شكل جديد من هذه الأرقام الغريبة. من خلال تخفيف مفهوم ماهية الرقم ، أعاد علماء الرياضيات تخيل تمثيل الرقم: بدلاً من التفكير في الرقم 97 في حد ذاته ، اعتقدوا بدلاً من ذلك أنه يحتوي على أصفار بادئة:
... 0000000097.
يمكن اعتبار كل صفر رئيسي على أنه رقم ، ويمكن أن تمتد مسألة الحساسية الرقمية إلى هذه التمثيلات الجديدة. هل يمكن أن توجد "أعداد أولية دقيقة رقمياً على نطاق واسع" - أعداد أولية تصبح دائمًا مركبة إذا غيرت أيًا من الأرقام ، بما في ذلك أي من تلك الأصفار البادئة؟ بفضل عمل عالم الرياضيات مايكل فيلاسيتا وجيرميا ساوثويك ، نعلم أن الإجابة ، بشكل مدهش ، هي نعم. لا يقتصر وجود الأعداد الأولية الحساسة رقميًا على نطاق واسع فحسب ، بل يوجد عدد لا نهائي منها.
تشكل الأرقام الأولية سلسلة لا حصر لها من الألغاز الرياضية للمحترفين والمتحمسين للعب بها. قد لا نكشف أبدًا عن كل أسرارهم ، ولكن يمكنك الاعتماد على علماء الرياضيات لاكتشاف وابتكار أنواع جديدة من الأعداد الأولية لاستكشافها باستمرار.
تمارين
1. ما هي أكبر فجوة بين الأعداد الأولية من 2 إلى 101؟
2. لإثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ، يفترض إقليدس أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية $ latexp_1 ، p_2 ، p_3 ، ... ، p_n $ ، ثم يوضح أن $ latexq = p_1 مرات p_2 مرات p_3 مرات ... مرات p_n + 1 $ isn يمكن القسمة على أي عدد أولي في القائمة. لا يعني هذا ذلك q يجب أن يكون رئيسيا؟
3. نتيجة مشهورة في نظرية الأعداد هي أنه يوجد دائمًا بين الشق الأول k و 2k (شاملة). من الصعب إثبات ذلك ، لكن من السهل إثبات وجود عدد أولي دائمًا بينهما k و $ latexq = p_1 مرات p_2 مرات p_3 مرات ... مرات p_n + 1 $ (شامل) ، حيث $ latexp_1 ، و p_2 ، و p_3 ، ... ، p_n $ كلها الأعداد الأولية أقل من أو تساوي k. اثبت ذلك.
4. هل يمكنك العثور على أصغر عدد أولي دقيق رقميًا في خانة الآحاد والعشرات؟ هذا يعني أن تغيير رقم الآحاد أو العشرات سينتج دائمًا رقمًا مركبًا. (قد ترغب في كتابة برنامج كمبيوتر للقيام بذلك!)
مشكلة التحدي: هل يمكنك العثور على أصغر عدد أولي دقيق رقميًا عند تمثيله في ثنائي؟ تذكر أنه في النظام الثنائي ، أو الأساس 2 ، تكون الأرقام الوحيدة هي 0 و 1 ، وتمثل كل قيمة مكانية قوة 2. على سبيل المثال ، يتم تمثيل 8 كـ $ latex1000_2 $ ، حيث أن $ latex 8 = 1 في 2 ^ 3 + 0 ضرب 2 ^ 2 + 0 مرات 2 ^ 1 + 0 مرات 2 ^ 0 $ ، و 7 في الأساس 2 هو $ latex111_2 $ ، حيث أن $ latex7 = 1 مرات 2 ^ 2 + 1 مرات 2 ^ 1 + 1 مرات 2 ^ 0 $.
انقر للإجابة 1:
انقر للإجابة 2:
لا ، انظر إلى الأعداد الأولية الستة الأولى: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 و 13. العدد في هذه الحالة q سيكون اللاتكس دولار 2 مرات 3 مرات 5 مرات 7 مرات 11 مرة 13 + 1 = 30,031،2 دولار. هذا غير قابل للقسمة على 3 أو 5 أو 7 أو 11 أو 13 أو 30,031 ، لكنه ليس عددًا أوليًا: فهو عامل مثل اللاتكس $ 59،509 = XNUMX ضرب XNUMX $. لاحظ أنه يحتوي على عوامل أولية ، لكنها كلها أكبر من الأعداد الستة الأولى.
انقر للإجابة 3:
أي كان k or q هو رئيس انتهينا. إذا q ليس عددًا أوليًا ، إنه مركب ، مما يعني أنه قابل للقسمة على عدد أولي ، لكننا نعلم بالفعل أنه لا يقبل القسمة على أي من الأول n الأعداد الأولية. وبالتالي يجب أن تكون قابلة للقسمة على رئيس أكبر من الأول n الأعداد الأولية ، وبما أن كل هذه الأعداد الأولية أقل من k، يجب أن يكون هذا العدد الرئيسي أكبر من k. لكن هذا العدد الأولي ينقسم q، لذلك يجب أن يكون أقل من q، لذلك يجب أن يكون هناك عدد أولي بين k و q.
انقر للإجابة 4:
أول رئيس يحقق هذه الخاصية هو 2,459،2,451 ، حيث أن 2,453 و 2,457 و 2,409 كلها مركبة (تفي بمعيار رقم الآحاد الحساس) و 2,419 و 2,429 و 2,439 و 2,449 و 2,469 و 2,479 و 2,489 و 2,499 و 2,459 كلها مركبة (مرضية) معيار رقم العشرات الدقيق). ومع ذلك ، فإن 2,659،XNUMX ليس حساسًا رقميًا ، لأن XNUMX،XNUMX عدد أولي ، لذا فإنه يفشل بمجرد أن تبدأ في التفكير في رقم المئات. (بفضل عالم الرياضيات جون د. كوك لنشره كتابه حساس رقميا لشفرة بايثون الأولية.)
انقر للإجابة على مشكلة التحدي:
$ latex127 = 1111111_2 $ حساس رقميًا ، حيث أن $ latex 126 = 1111110_2 $ و $ latex125 = 1111101_2 $ و $ latex123 = 1111011_2 $ و $ latex119 = 1110111_2 $ و $ latex111 = 1101111_2 $ و $ latex95 = 1011111_2 $ و $ latex63 = 0111111_2 $ = XNUMX_XNUMX $ كلها مركبة.
